그리 길지 않은 글이니 전문을 인용합니다. ------------------------------------------------------------------------------- 자연수, 정수, 유리수 등이 있고, real division algebra로는 실수 복소수 quaternion, octonion이 있죠. 유한차원 real division algebra로는 그것이 전부입니다. 존재하지도 않는다면 어떻게 그 4개가 전부라는 것을 알 수 있을까요? 물론 그것은 증명의 이런저런 기술들에 의해서이고, 따라서 문제는 단순한 수체계의 창작(?)에 있는 것이 아니라 훨씬 근본적인 데에 있는 것 같군요. 사실 자연수가 '실재'하는 것과 같은 정도로(?) octonion이 '실재'한다고 자신있게 이야기할 수 있습니다. 그런 면에서는 p-adic number나 유한군들, tensor field나 기타 이상한 construction도 마찬가지이죠. 이런 개개의 construction은 그다지 핵심적인 문제가 아닌 것 같습니다. --------------------------------------------------------------------- 제가 이야기 하고 싶은 부분은 두번째 문장에 관한 것입니다. >존재하지도 않는다면 어떻게 그 4개가 전부라는 것을 알 수 있을까요? 수학의 모든 문제의 기초는 존재성과 유일성입니다. Real division algebra가 네가지 밖에 존재하지 않는다는 것은 이미 알려져 있습니다. 다시 말하면 우리가 알고 있는 real division algebra가 네가지밖에 없다는 것이 아니라 만들 수 있는 종류가 네가지밖에 없다는 것이지요. 이 증명은 대수적으로 증명이 되는 것은(아 물론 할 수도 있겠지만 현재로 알려져 있는 것은) 위상수학적 방법입니다. Fiber Buldle 이론을 사용해서 John Milnor가 최초로 증명을 했지요. 해석학의 고전적인 문제 `오차이상 방정식의 일반적인 해법은 없다`나 혹은 유클리드기하학의 고전적인 문제 `임의의 각의 삼등분으로의 작도 불가능`에 관한 증명이 순수대수적으로 되듯이 위의 대수학적 문제가 위상수학적으로 증명이 된다는 것은 얼핏 보기에 서로 연관을 찾을 수 없는 수학의 제분야들이 아주 긴밀하게 연결되어 있음을 보여줍니다. 수학을 관념의 유희로만 생각하고 있는 사람들이 많은데 결코 그렇지 않습니다. 수학자들이 어떤 정의를 내릴 때 그 정의를 만족하는 모델이 존재하지 않으면 그 정의는 쓸모가 없다고 할 정도입니다. 수학의 아름다움은 아무 연관이 없는 듯이 보이는 세계를 서로 연결해주는 고도의 추상성에 있습니다. 물론 여기서 추상성이란 실제성에 대한 반대개념이 아닌 `지극히 단순하고 논리적인 면`을 의미합니다. * * * * * * 아 * * * * * * * * * * @ * * * * * & * * 씨 * 별 * * * ! * * % * * 는 * * * * * 저 * * 나 * * @ * * * *