음 지금 무슨 공부를 하고 계신 줄은 모르겠지만... 수학공부를 하고 계신다고 했지만 세부전공이 뭣인 지를 몰라서요. 제가 알고 있는 내에서 설명을 해드리지요. 1.해가 아닌 것을 해로 만든다. 그 특강을 하신 분이 편미분방정식론을 전공하셨다고 하니까 짐작이 갑니다. *여기서부터는 전문적인 용어가 나오므로 골치가 아픈 분은 대충 넘어가시길* 어떤 편미분방정식의 해의 존재를 증명하는데 가장 많이 쓰는 방법은 위상수학적 방법입니다. 놀랍지요? 해석학에 도입한 위상수학이라. 자 어떻게 하는 가 차근차근히 말씀드리지요. 여기에 어떤 공간이 있습니다.(가령 실수집합이든지 평면이든지...) 이 공간에서 한 편미분방정식을 생각합니다. 그리고 우리의 목적은 이 편미방(편미분방정식의 줄임)의 해가 존재하는가와 만일 존재한다면 유일한가 아닌가 입니다. 자 이제 그 공간내에서 정의되는 모든 함수의 집합 `가`를 생각합시다. 그럼 이제 우리는 이 집합 `가`에 거리(metric)을 줄 수 있습니다. 어떻게냐구요? 많은 방법이 있지만 가장 간단한 예를 들자면 집합 `가`의 두 원소 함수 f와 g간의 거리는 두 함수 차이 |f-g|의 주어진 공간내에서의 적분값으로 주어집니다. 자 이제 집합 `가`는 거리를 줄수 있는 `거리공간`(metric space) 입니다. 수학을 전공하셨다면 이 거리공간은 별로 유용하지가 않지요? 이제는 칸톨아저씨가 도입한 `완비성`을 이 거리공간에 써먹습니다. 즉 `가`에 존재하는 모든 코시열의 극한까지를 포함하는 새 집합 `완비가`를 생각하는 것이지요. 이 `완비가`는 `가`를 포함하는 집합입니다. 대체로 이렇게 만들어진 집합은 원래의 집합보다는 크지요. 이 완비가의 원소이면서 원래의 집합 `가`에 포함되지 않는 원소가 유명한 디락의 델타함수입니다. (이래서 아마 해가 아닌 해라는 말이 나왔는 지도 모르지요). 디락의 델타함수는 해석학적의미에서ㅗ獨側� 아니지요. 이제 이 `완비가`위에서 편미방 P를 생각해 봅시다. 그럼 우리는 이제 이 p를 `완비가`에서 `완비가`로 가는 사상 (mapping)으로 생각할 수 있겠지요? P(f)=0 자 이제 이 편미방이 풀린다는 말은 무엇일까요? 0에 대한 역사상(inverse image) 가 존재하면 되겠지요? 이때 쓰이는 방법이 `implicit function theorem`이나 `inverse function theorem`입니다. 자 재수좋게도 P의 역함수 PP가 있어서 0의 역사상이 있다는 것을 보였다 하더라도 이것이 원래의 집합 `가`에 있는 것을 보여야 우리는 `해가 아닌 해`가 아니라 진짜 해가 있음을 보여주는 것이겠지요. 이때 사용하는 이론이 Sobolev space 이론입니다.(논의가 깊어지네요..음 여기선 가비얍게만 이야기 하고 싶어서리..) 만일 편미방이 주어진 공간이 좋다면 진짜 해를 찾게 되는 것이고 안그럴 경우 디락의 델타함수같은 `해아닌 해`를 찾게 되는 것이지요. 2. 위의 설명을 예로 수학에는 엄밀하지 않는 방법으로 물리학을 설명하는 경우는 없습니다. 모든 방정식이 수학이 아니라 물리학의 영역에서 발견되고 최초로 연구되어졌지만 수학에서 엄밀함이란 통과의례를 거치지 않으면 그것은 수학이라는 이름을 얻지를 못합니다. 참고:위에서 제가 말한 부분을 더 자세히 아시고 싶으시면 Gilbarg, Trudinger가 같이 지은 Elliptic Partial Differential Equation in 2nd order를 읽어 보세요. 쉽지않지만 그래도 이런 쪽으로는 입문서로 알려져 있습니다. * * * * * * 아 * * * * * * * * * * @ * * * * * & * * 씨 * 별 * * * ! * * % * * 는 * * * * * 저 * * 나 * * @ * * * *